Certa vez, conversando com seu mestre, o russo Solomon Lefschetz, Maurício Peixoto comentou que o problema de trabalhar com estabilidade estrutural de sistemas dinâmicos era que ninguém se preocupava com o tema. "Isso não é um problema, isso é a sua sorte", comentou o matemático russo. "Tente trabalhar tanto e tão rápido quanto puder nesse assunto, pois um dia você não entenderá uma única palavra do que eles estarão dizendo sobre estabilidade estrutural."

Pelo teorema, Peixoto foi premiado pela Academia de Ciências do Terceiro Mundo

O teorema de Peixoto surgiu a partir de três estudos realizados por ele. Em 1957, Maurício foi para a Universidade de Princeton (Estados Unidos) pesquisar o tema com Lefschetz. Ganhou uma mesa próxima à do russo, e passavam horas conversando sobre matemática e outros assuntos. Apesar da diferença de idade entre eles - Peixoto tinha 36 anos e Lefschetz 73 -, tornaram-se grandes amigos. Lefschetz acreditava nas idéias do discípulo e apoiava-o no desenvolvimento do teorema.

Incentivado pelo mestre, Peixoto escreveu seu primeiro trabalho sobre estabilidade estrutural. Lefschetz editava o Annals of Mathematics, onde mais tarde publicaria o trabalho. Em 1958, os dois foram juntos ao Congresso Internacional de Matemática, em Edimburgo, Escócia, e Lefschetz apresentou o brasileiro ao matemático russo Lev Pontrjagin - responsável por um trabalho sobre sistemas dinâmicos que Peixoto utilizara como base para seus estudos. Lefschetz queria que o brasileiro adiantasse ao colega as conclusões do paper ainda não publicado. "O encontro foi um fiasco", diz Peixoto. O brasileiro estudava a estabilidade estrutural de um ponto de vista espacial, que poderia ser estendido a qualquer dimensão, enquanto Pontrjagin acreditava que ela não poderia existir além da dimensão dois, portanto não estava sequer interessado pelo trabalho.

De volta a Princeton, Peixoto foi apresentado ao matemático que se tornaria uma referência em sistemas dinâmicos: Steve Smale. Smale logo se interessou pelo trabalho de Peixoto e percebeu que poderia utilizá-lo para estender as pesquisas do brasileiro à dimensão n. O contato entre ambos se intensificou, e quando Peixoto voltou ao Brasil, o americano veio passar seis meses no Impa. Por intermédio de Smale, Peixoto entraria em contato com René Thom, matemático francês que o ajudou a resolver dúvidas fundamentais sobre o teorema - finalizado durante a visita de Thom ao Impa. Em 1987, Peixoto seria premiado pela Academia de Ciências do Terceiro Mundo "por seu estudo fundamental e pioneiro sobre estabilidade estrutural de sistemas dinâmicos, em particular por provar que os fluxos em superfícies são genericamente estruturalmente estáveis."